Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - II. Rummet - Spekulativ rumsuppfattning - Den geometriska vetenskapen
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
92
RUMMET.
arealen av parallellogrammen på följande sätt. Man tager ut ett av sidoparen och
mäter den för bägge sidorna gemensamma längden samt deras inbördes kortaste
avstånd; genom att sedan hopmultiplicera dessa bägge längdmått får man ytmåttet för
parallellogrammen. Då nu varje triangel kan anses utgöra en hälft av en dylik
parallello-gram (se fig. 63), måste således triangelns ytinnehåll mätas av halva produkten mellan
Fig. 61. Parallellaxiomet.
längden på en sida och avståndet från motstående spets till denna sida, eller som man
säger, triangelns yta är halva produkten av dess bas och
höjd.
Ur denna märkliga sats, som i ett slag förenklade arealberäkningarna, följer i sin
tur, att en triangels areal icke ändras, om triangeln med oförändrad bas omformas på så
sätt, att spetsen rör sig utefter en med basen parallell linje (se fig. 64); höjden är ju
Fig. 62. Parallellogrammen kan förvandlas till en rektangel.
densamma för dem alla. Tack vare detta förhållande kan man enligt Euklides omforma
varje månghörning till en triangel (se fig. 65, där femhörningen ABCDE omformats
till en triangel genom att tvenne trianglars spetsar förskjutits, B oeh D, så som pilarna
utvisa), och således kräver bestämmandet av månghörningens areal endast
uppmätandet av tvenne längdmått; den efter omformningen erhållna triangelns bas och höjd.
Fig. 63. Varje triangel kan uppfattas
som en halv parallellogram.
Fig. 64. Trianglar med samma höjd
och bas hava samma ytinnehåll.
Genom att förvandla triangeln till en kvadrat kan man således realisera polygonens
kvadratur.
Det är med hjälp av en dylik omformning som Euklides också lyckas fullständigt
bevisa den pythagoreiska satsen. Härvid förfar Euklides så, att han tänker sig de tre
kvadraterna uppritade på en rätvinklig triangels sidor; genom ett snitt vinkelrätt mot
triangelns största sida (den s. k. hypotenusan) delar han den största kvadraten i två
rektangulära delar och visar, att dessa bägge äro lika med var sin av de bägge andra
kvadraterna, så att den stora kvadraten följaktligen måste äga en areal lika stor som de
bägge mindre kvadraternas sammanlagda areal. I stället för att bevisa att var och en
av de mindre kvadraterna är lika med den ena av rektanglarna visar han, att deras
hälfter äro det. Beviset går således ut på att visa, att de i fig. 66 vänster streckade
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
