Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - II. Rummet - Spekulativ rumsuppfattning - Den geometriska vetenskapen
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
SPEKULATIV RUMSUPPFATTNING. DEN GEOMETRISKA VETENSKAPEN.
93
trianglarna äro lika stora, och för att visa detta omformar Euklides dessa bägge trianglar
genom att låta deras spetsar löpa utefter linjer parallella med basen så som fig. 66
höger utvisar. Att de bägge genom omformning erhållna trianglarna äro lika inses utan
vidare, ty genom en vridning av den ena ett kvarts varv kommer den att täcka den
andra fullständigt.
Fig. 65. Varje månghörning kan
förvandlas till en triangel med samma ytinnehåll.
Fig. 66. Beviset för Pythagoras’ sats.
Till de mera märkliga geometriska resultat, som framställts i Euklides’ Elementa,
hör den av Eudoxus funna satsen om pyramidens rymdinnehåll. Detta visas vara
tredjedelen av rymdinnehållet för ett lika högt prisma med samma grundyta, så att volymen
erhålles genom att uppmäta grundytans areal och spetsens höjd över grundytan; en
tredjedel av dessa bägge måtts produkt ger pyramidens volym. Satsens riktighet vilar
ytterst på det faktum, att en kub kan uppdelas i tre inbördes lika stora pyramider, ägande
samma grundyta som kuben och samma höjd. Satsen gäller även om pyramidens
grundyta får allt fler och allt kortare sidor och således även för konen.
Antikens stora problem. Eftersom Euklides’ verk endast avsåg att ge grunderna
till geometrien, omfattar det icke alla de geometriska problem, som före honom varit
underkastade matematicis undersökningar. Av dessa tilldrogo sig tre synnerligen svåra
problem grekernas speciella intresse och kommo därigenom att indirekt befordra
geometriens utveckling långt utöver de gränser, som i Elementa sedermera utstakades. Det
ena var det s. k. deliska problemet, som gällde framställandet av en kropp lika formad och
med dubbelt så stort rymdinnehåll som en given kropp. Med hänsyn till att man vid
lösningen huvudsakligen vände sig till den kubiskt formade kroppen brukade uppgiften
helt kort benämnas kubens fördubbling. Det andra problemet gällde vinkelns tredelning
och det tredje cirkelns kvadratur, d. v. s. bestämmandet av en kvadrat med exakt samma
ytinnehåll som en given cirkelyta. Problemen funno så småningom sin lösning, men
att utföra konstruktionerna uteslutande med hjälp av passare och linjal lyckades dock
ingen. I senare tid har man med algebraiska hjälpmedel visat, att detta icke heller ligger
inom möjligheternas område, något som icke avskräcker enstaka lekmän att alltjämt
envist söka med passare och linjal lösa dessa problem, framför allt vinkelns
tredel-ning.( Märkligt nog vill icke lekmannen gärna sätta tro till att det skulle kunna
bevisas vara omöjligt att tredela vinkeln med passare och linjal, och ändå är detta i
princip inte märkligare än att algebraiskt bevisa, att det är omöjligt att med en linjal i
ett streck draga en linje genom tre godtyckligt givna punkter eller att med en passare
slå upp en cirkel gående genom fyra godtyckligt givna punkter.
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
