Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - VI. Ljudet - Ljudet som rörelse - Svängande strängar och luftpelare
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
542
LJUDET.
Den matematiska teorien för svängande strängar. Taylors arbete om svängande
strängar, i vilket den newtonska infinitesimalkalkylens matematiska
finesser kommit till användning, inledde en hel rad liknande undersökningar, där denna
nya matematiska metods bärkraft visade sig i all sin glans. Jean och Daniel
Ber-nouilli, d’ALEMBERT, Euler och Lagrange, kort sagt eliten av 1700-talets matematiska
forskare, angrepo med iver problemet om elastiska strängars och stavars
formförändringar och vibrationer. Dessa fundamentala undersökningar kunna vi naturligtvis här
endast ingå helt ytligt på, enär de äro av alltför djupgående matematisk art.
Undersökningarnas fundamentala art nödgar oss dock att ägna några ord åt den praktiska
och teoretiska betydelse dessa undersökningar haft.
Den matematiska teorien för svängningsförloppet hos en sträng kunde formellt
utarbetas efter två olika tankelinjer. De matematiska lagarna visa att strängen kan
anses vara säte för två utefter strängen åt motsatta håll fortskridande vågrörelser,
varav den ena kan uppfattas såsom genom reflexion uppkommen ur den andra. Detta
betraktelsesätt motsvarar vad vi kallat stående vågor, och vi ha i det föregående
sett hur ett dylikt betraktelsesätt kan användas vid redogörelse för hur svängningarna
förlöpa vid strängar och luftpelare.
Men de matematiska lagarna visa även att man direkt kan utgå från strängens
form eller profilkurva i ett visst ögonblick och därefter bestämma profilkurvan i nästa
ögonblick ur den svängningsrörelse som varje punkt av profilkurvan utför. Detta
betraktelsesätt motsvarar att man uppfattar strängen som en mekanisk
sväng-ningskrets, ehuru förhållandena icke längre bli fullt så enkla som vid den i fig.
395 sid. 498 betraktade svängningskretsen. Vid strängen äro icke massa och elasticitet
så skarpt åtskilda som vid den av oss tidigare betraktade mekaniska
svängningskretsen, utan både massa och elasticitet äro likformigt fördelade efter hela strängen.
Därför kan man icke längre tala om en enda avvikelse ur jämviktsläget och en enda
hastighet för svängningskretsen, utan man får gå in på en detaljundersökning rörande
strängens olika punkter och bestämma avvikelserna och hastigheterna för alla dessa punkter.
Hos vår i fig. 395 schematiskt givna svängningskrets råder en viss förblivande eller
stationär åtskillnad av svängningens förlopp, varför dylika mekaniska kretsar kallas k v
a-sistationära svängningskretsar, medan en sträng däremot saknar
denna stränga lokalisering och för den skull säges utgöra en icke k v a s i s t a t i
o-när svängningskrets.
Frågan om formförändringarna hos ett långsträckt elastiskt material har icke bara
intresse för själva det akustiska problemet om strängars svängningar, den är av
fundamental betydelse för elasticitets- och hållfasthetsläran, vilken just genom
ovanstående arbeten fått sin grundläggande utformning, särskilt i vad som rör
böj-ningsproblemen (se sid. 273). Härtill kommer att studiet av den böjda strängens
profilkurva ledde till matematiska kontroverser av mest vittgående slag, och under
det dessa svårigheter ventilerades, förbereddes så småningom den utomordentligt
viktiga matematiska sats som vi tidigare (sid. 490) mött under namn av Fouriers
teorem.
Den fråga som gav anledning till dessa kontroverser var följande: Om en spänd
sträng genom yttre krafter böjes i en godtyckligt formad, svagt buktande kurva, hur
kommer denna profilkurva att ändras och rörelsen att förlöpa, ifall strängen plötsligen
överlämnas åt sig själv?
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
