Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - VI. Ljudet - Ljudet som rörelse - Svängande strängar och luftpelare
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
LJUDET SOM RÖRELSE. SVÄNGANDE STRÄNGAR OCH LUFTPELARE.
543
Fig. 452. Fem olika skeden av en strängs
grundsvängning, från dess största utbuktning och till dess
normala, rakt spända läge.
Taylor hade (1713) ansett sig kunna påstå att strängen, när den svänger, alltid har
formen av en sinuskurva, så som vi sett fallet måste vara vid harmoniska svängningar,
vare sig strängen vibrerar med endast en svängningsbuk eller den vibrerar med
uppdelning genom flera noder. Men Taylor hade vid sina kalkyler utgått ifrån att alla strängens
punkter samtidigt passera jämviktsläget, så att strängen således under varje svängning
två gånger rätar ut sig fullständigt (se fig. 452 och 453). d’Alembert påpekade 1747
att denna förutsättning ej är nödvändig; strängen kan vibrera fram och tillbaka kring
sitt raka jämviktsläge utan att därför någonsin få tillfälle att själv bli rak, så länge
vibrationerna pågå med oförminskad styrka (se fig. 454 och 455). övergiver man
därför denna Taylors förutsättning, så kan svängningen fortgå periodiskt, vad
form profilkurvan än har vid starten eller under rörelsens fortsatta förlopp.
Efter varje period återtager strängen
därvid sin ursprungliga godtyckligt
givna form.
Året därpå tog Euler upp frågan
och visade att d’Alemberts påstående
står i överensstämmelse med den
new-tonska dynamikens lagar, så snart
profilkurvans avvikelser ur jämviktsläget
kunna betraktas som en summa av
avvikelser härrörande från profiler av
sinus-kurvform svarande mot våglängder, som
äro lika med eller utgöra 1/2,1/3, x/4 o. s. v.
av strängens dubbla längd.
Daniel Bernouilli framhöll i en
år 1753 briljant skriven avhandling att
Eulers ståndpunkt stod i bästa överensstämmelse med frågans fysikaliskt-musikaliska
sida, såtillvida som det mänskliga örat enligt vad erfarenheten givit vid handen förmår
att i ljudet från en svängande sträng särskilja en samtidig närvaro av en hel rad
toner: grundtonen och en rad övertoner (se sid. 541 och närmare sid. 573) med
svängningstal, vilka just motsvara den av Euler funna harmoniska uppdelningen. Men
Bernouilli ansåg det icke uteslutet att även d’Alembert skulle kunna ha rätt, såtillvida
som varje profilkurva kunde uppfattas såsom sammansatt av avvikelser av denna
harmoniska art. Euler förnekade möjligheten av att med hjälp av sinuskurvor
sammansätta en fullständigt godtyckligt given kurva.
Trots skarpsinniga inlägg bl. a. av Lagrange (1759) stod frågan öppen ända till
Fourier år 1823 bevisade sitt berömda teorem (sid. 490), enligt vilket varje
godtycklig kurva kan framställas med hjälp av sinuskurvor på det eulerska sättet.
Därmed var frågan bragt till ett definitivt avgörande. Strängen kan vid starten
givas en godtycklig profilkurva och sedan periodiskt återtaga den.
Fig. 453. De av första övertonen bildade fem
stränglägen, som motsvara fig. 452.
Harmonisk analys av en strängs svängningsrörelse. Vill man bestämma
profilkurvans utseende i ett visst ögonblick för en i periodisk svängning befintlig sträng behöver
man blott genom harmonisk analys (se sid. 492) uppdela startprofilkurvan i sinuskurvor
och se vad som vid tidpunkten i fråga blivit av var och en av dessa vid harmonisk
svängning med det mot deras våglängder svarande svängningstalet. Genom att åter samman-
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
