Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - H. 30. 29 juli 1944 - Astronomisk matematik — sfärisk trigonometri, av Knut Lundmark
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
22 juli 19 A A
887
från sfärens medelpunkt. Triangelns vinklar
definieras av vinklarna mellan de tre planen. Fastän
det är en smula oegentligt anges triangelns
vinklar vanligen i vinkelmått.
I regel betraktar man endast sådana trianglar,
där vinklar ocli sidor ha värden mellan 0° och
180° (Eulers triangelbegrepp).
Man vrider (x, y, z) -koordinatsystemet, fig. 2,
omkring y-axeln med vinkelbeloppet c. Man tänker
sig så en sfär med radien r slagen omkring origo.
Denna sfär skäres av de bägge z-axlarna i
punkterna A och B. På sfären väljes en punkt C. De
storcirklar, som binda samman kortaste
vägarna mellan punkterna A, B och C, definiera då den
sfäriska triangel, som synes streckad på bilden.
Sidorna i denna triangel kallas a, b och c, och de
motstående vinklarna respektive A, B och C.
Vi kunna då uttrycka koordinaterna i [x, y,
z)-systemet på följande sätt
x f= r sin a eos (180 — B)
ij\—r sin a sin (180 — B)
z = t eos a
På samma sätt kunna vi uttrycka punkten C:s
koordinater i (.t’, y’, z)-systemet
x = r sin b eos A
y’ = r sin b sin A
z = r eos b
Mellan en punkts koordinater i de respektive
systemen gälla de ur den analytiska geometrin
välkända transformationsformlerna
x = x eos c
u ■= y’
z i= x sin c
z sin c
z eos c
Om då uttrycken för punkten C:s koordinater i
de respektive systemen sättas in i ovanstående
Fig. 2. Hur en sfärisk triangel uppstår genom att vrida ett
treaxligt koordinatsystem omkring en av koordinataxlarna
såsom gemensam och betrakta en punkt C:s läge i
förhållande till de bägge systemen.
transformationsformler, erhåller man efter några
självklara transformationer de följande tre
formlerna
eos a = eos b eos c + sin b sin c eos A \
sin a eos B = eos b sin c — sin b eos c eos A\ (l)
sin a sin B t= sin b sin A
Dessa äro de tre grundformlerna för den
sfäriska triangel, som har sidorna a, b ocli c och de
mot dessa stående vinklarna A, B och C. Ingen
förutsättning är här gjord över sidornas och
vinklarnas storlek. Formlerna äga därför
generell giltighet, så att de kunna användas även i
sådana trianglar, där sidor och vinklar äro större
än 180°.
Den första av dessa formler är den sfäriska
trigonometrins cosinusformel och den tredje dess
sinusformel. Den andra formeln, som visserligen
ej är i avsaknad av sin symmetri, är ganska svår
att minnas och har ej något bestämt namn utan
kallas vanligen den mellersta formeln, någon
gång också sinus-cosinus-formeln.
Genom cyklisk permutation samt några enkla
transformationen som ge sig själva vid närmare
genomräkning, erhålles följande formelsystem
eos a i— eos b eos c + sin b sin c eos A
eos b i= eos c eos a + sin c sin a eos B
eos c "= eos a eos b + sin a sin b eos C
sin a sin B sin b sin A
sin b sin C f= sin c sin B
sin c sin A — sin a sin C
sin a eos B = eos b sin c — sin b eos c eos A
sin a eos C s= eos c sin b — sin c eos b eos A
sin b eos C <= eos c sin a — sin c eos a eos B
sin b eos A eos a sin c — sin a eos c eos B
sin c eos A = eos a sin b — sin a eos b eos C
sin c eos Bl— eos b sin a — sin b eos a eos C
(2)
(3)
(4)
Genom division av de sex ekvationerna i
formelsystemet (4) med de motsvarande i (2) erhålles
följande system
sin A cot B = cot b sin c — eos c eos /I
sin A cot C = cot c sin b — eos b eos A
sin B cot C = cot c sin a — eos a eos B
sin B cot A = cot a sin c — eos c eos B
sin C cot A = cot a sin b — eos b eos C
sin C cot B i= cot b sin a — eos a eos C
(5)
Den sista ekvationen ger
eos b sin a sin B
sin C eos B
sin b
— eos a eos C sin B
Men med användning av den första ekvationen i
system (3) får man
sin C eos B = eos b sin A — eos a eos C sin B
eller
sin A eos b i= eos B sin C + sin B eos C eos a
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
