Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - H. 28. 13 juli 1946 - Problemhörnan, av A Lg
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
696
TEKNISK TIDSKRIFT
Problemhörnan
Problem 8/46 var följande: "I ett öppet kärl fyllt med
vatten till höjden h ligger på bottnen ett punktformigt
föremål. Beräkna föremålets skenbara läge som funktion av
blickriktningen a."
Vi har
n • sin ß = sin oc (1)
_ 4
där n = brytningsindex <x> —.
o
Genom differentiering erhålles härav
n • eos ß ’ dß = eos oc • dec (2)
Om vi betraktar två
varandra närbelägna
strålar i papperets plan,
erhålles enl. figuren
följande samband
a = l • doc
b =
dß
eos ß
a _ b
eos oc eos ß
varav med beaktande
av (1)
h eos2 oc
eos3 ß
Härav beräknas lätt
koordinaterna för P till
1 =
x = h
(n2 — 1) sin3 a
Fig. 1 a och b.
(n2
y=-h
— sin2 a)^
n2 eos3 oc
(n2 — sin2 ci)Y
Detta är den sökta punktens läge som funktion av oc.
Genom eliminering av oc mellan de båda
koordinatuttryc-ken erhålles orten för bildpunkten P:
= 1
J
Wn2 — 1/
som är ekv. för en olikaxlig astroid. — Denna lösning har
återgivits efter G Olofsson.
Ett annat beräkningssätt, som använts bl.a. av S Sundén,
är följande:
Ekvationen för den brutna strålen kan skrivas
dvs. y tg oc — x — h tg ß (3)
För att erhålla skärningspunkten med en närliggande
stråle kombinerar man (3) med en motsvarande ekvation
erhållen genom partiell derivering med avseende på oc:
y = _ _h . dß
eos2 oc eos2 ß d oc ’
Vid samtidigt iakttagande av sambanden (1) och (2)
erhålles härav koordinaterna för bildpunkten P, dvs.
samma värden som enl. den första lösningen. Den funna orten
för bildpunkten (astroiden) identifieras som evolutan till
en ellips med halvaxlarna h\’n2—1 och h n. Det kan
visas att ellipsens ena brännpunkt sammanfaller med det
punktformiga föremålet. Lösningen gäller givetvis för varje
vertikalplan genom föremålet, varför den fullständiga
orten för bilden P blir en rotationsyta, alstrad av den
under vattnet befintliga delen av ellipsevolutan.
Om man i stället söker problemets lösning genom att
betrakta två varandra närbelägna strålar, som vardera
bildar samma vinkel
med lodlinjen genom
föremålet, inses utan
vidare, att dessa
strålar också måste
divergera från en punkt på
denna lodlinje.
Härvid gäller för P
x = 0
y = -h
\n2 — sin2 oc
Vi har sålunda fått två
olika koordinatpar för fig g
punkten P, det ena
genom att beräkna dess
läge från en förflyttning av ögat i vertikalplanet, det
andra genom en förflyttning i sidled. Hr Sundén har
verifierat detta genom ett experiment med en tjock glasskiva,
som fått ersätta vattnet:
Fig. 3.
Fig. 4.
En ljusstråle markeras medelst små bläckpunkter A och
B, varvid ögat ser bilden P av A ett stycke bortom fläcken
B. Detta stycke kan uppskattas genom observation av
pa-rallaxen från sträckan B—P då ögat flyttas en liten distans
uppåt-nedåt eller åt sidan. Om ögat flyttas uppåt-nedåt
(dvs. i de små pilarnas riktning) kan man tydligt iaktta
att parallaxen är mindre än om en motsvarande
förflyttning göres i sidled, vilket överensstämmer med de gjorda
beräkningarna.
Sign. Og hänvisar i motsvarande sammanhang till en
undersökning av A Frendel, publicerad i Tidskrift för
Elementär Matematik, Fysik och Kemi, årg. 10 (1926—1927),
s. 154—165; 205—211. Frendel påpekar, att den beräknade
sidoförskjutningen av P skulle medföra, att en genom en
vattenyta uppstickande vertikal stång komme att se
"avbruten" ut. Detta stämmer icke med verkligheten: stångens
nedre del ter sig endast förkortad. Man erhåller visserligen
längs synlinjen två skilda bilder av varje punkt på stången,
varvid likväl den "normala" bilden (den som ligger på
lodlinjen genom föremålet) är betydligt ljusstarkare än
den "utomnormala". ögat bedömer härvid x-koordinaten
enbart efter den större ljusstyrkan.
övriga problemlösare har varit K J E Westerberg, N F
Enninger, W Rosén, M Grenander, T Ygge, N E, Br, U
Olsson samt G Arvidsson. Den sistnämnde föreslår för
prövning av den "astigmatiska differensen", dvs. skillnaden
i bildavstånd längs synlinjen, att man som objekt
använder ett litet vertikalt rutnät med vertikala och
horisontella trådar. Om man för observationen använder en lupp
med ena gången en horisontellt och andra gången vertikalt
anordnad slitsbländare, ser man i förra fallet endast de
vertikala trådarna skarpt och vice versa, i
överensstämmelse med utredningen härovan.
Problemhörnan återkommer med sin nästa uppgift i
början av september. Dess läsare ombedes att under
sommaren inventera sina ev. problemförråd och till Teknisk
Tidskrift insända sådant material, som kan lämpa sig för
publicering i denna spalt. Honorar lämnas efter införandet.
A Lg
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
