Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - Häfte 1. 7 jan. 1928 - Komplex vektorräkning vid vissa slag av maskintekniska problem, av civilingenjör Fredrik Dahlgren
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
16
TEKNISK TIDSKRIFT
4 FEBR. 1928
KOMPLEX VEKTORRÄKNING VID VISSA SLAG AV
MASKINTEKNISKA PROBLEM.
Av civilingenjör FREDRIK DAHLGREN.
Vektorräkning med komplexa tal har vid behandlingen
av sinusformiga växelströmsförlopp inom kretsar med
konstanta koefficienter blivit ett absolut oumbärligt hjälpmedel,
men vars bistånd ofta rätt komplicerade problem kunna lösas
i synnerligen enkel och överskådlig form. Det finns
emellertid ett tillämpningsområde, där den enkla räkningen
med komplexa storheter måste kompletteras med en hel del
extra relationer och teoretiska överläggningar för att vara
i stånd att entydigt lösa ett uppställt problem, nämligen
då i de behandlade kretsarna ingå en eller flera asynkrona
eller kommutatormaskiner. I detta fall inkomma nämligen
rörelseförhållanden i rymden såsom medbestämmande
element i de elektriska förloppen, och till dessa element kan
på rent analytisk väg hänsyn tagas endast genom någon
slags utvidgning av giltighetsområdet för den komplexa
vektorräkningen.
R. Lundholm har i ett synnerligen värdefullt arbete1
framställt en fullständig teori för generella trefasvektorer,
där även ömsesidiga induktanser mellan roterande
maskin-lindningar behandlas som vektorer, varigenom
rotationsförhållanden kunna direkt intagas i vektorekvationen. Det
förnämsta värdet hos den nämnda teorien ligger i
densammas tillämplighet på alla slag av osymmetriskt belastade
trefaskretsar samt på kretsar med tidsövertoner hos
strömmar och spänningar. Vidare har undertecknad2 senare
framställt en räknemetod för de elektriska förloppen inom
elektriska maskiner, där hänsyn tages till såväl tids- som
rums-övertoner. I det följande kommer att framställas en
enkel räknemetod för strömkretsar innehållande ett flertal
roterande maskiner (kaskadkopplingar, frekvensomformare
o. d.), varvid anknytes till det senare av de ovannämnda
arbetena. Dock räkna vi här endast med sinusformiga
storheter och symmetriska flerfaskretsar (fastalet godtyckligt
men 2), detta i ändamål att möjliggöra en enkel
behandling även vid relativt komplicerade kopplingsschemata.
Enligt det gängse betraktelsesättet angiver en sinusvektor
för en elektrisk storhet genom sin projektion på en given
riktning det aktuella momentanvärdet hos den åsyftade
storheten. Om man har ett symmetriskt flerfassystem av
kretsar, vilka äro likformigt och symmetriskt placerade i
rummet längs en viss periferi, vilket ju är fallet i en ordinär
flerfas maskinlindning, så kan man tilldela sinusvektorn
en något avvikande betydelse, i det att man uppfattar
densamma som en roterande rymdvektor, vars längd är lika
med den åsyftade storhetens amplitud och vars riktning i
varje ögonblick pekar mot den faslindning, i vilken
maximalt momentanvärde råder. Härvid betraktas naturligtvis
en polpardelning som en sluten cirkel, dvs. alla vinklar
mätas i "elektriska grundvågsgrader". Det må påpekas, att
ett dylikt betraktelsesätt ingalunda förutsätter ett oändligt
antal lindningsfaser utan kan med fullt logisk klarhet
till-lämpas på vilket fastal som helst som är 2,
Om vi inom det rymdsystem, i vilket vektorn tankes röra
sig, fixera en viss nollriktning, så kan vektorn på vanligt
sätt representeras av ett komplext tal, vars modul är
vektorns längd och vars argument är vektorns momentana
vinkel relativt denna nollriktning. Ett dylikt
åskådningssätt ger tydligen precis samma möjligheter att uppställa
relationer mellan momentanvärden i form av komplexa
relationer mellan de respektive momentan värdenas vektorer,
som det gängse betraktelsesättet ger, medan härtill kom-
1 "a generalized veetor theory for electrical alternating
current circuits with its applieation to certain praetieal problems",
Tekniska meddelanden från Kung-I. vattenfallsstyrelsen, 15 okt.
1924.
2 "En räknemetod med i såväl tid som rum variabla vektorer
samt dess tillämpning- på elektriska maskiner", Skrifter, utgivna
med anledning av K. tekniska högskolans 100-årsjubileum, 1927.
mer möjligheten att på rent matematisk väg hålla reda på
rotationsriktningar i rymden.
För att redan från början äga fullt klara definitioner att
bygga på, tänka vi oss en flerfasmaskin, i vars rymd vi
fastlägga en viss nollriktning och en viss positiv
rotations-riktning, båda hänförda till statorn. Med utgångspunkt
häri definiera vi följande vektorer:
B = den vektor, vars modul är maximala
luftgapsinduk-tionen och vars argument är vinkeln för induktionsvågens
maximum, räknat som en rotor-nordpol.
A = den vektor, vars modul är resulterande
amperevarvs-vågens amplitudvärde och vars argument är vinkeln för
amperevarvsvågens maximum, räknat som en rotor-nordpol.
I (för en viss lindning) = den vektor, vars modul är
strömmens effektivvärde och vars argument är vinkeln för
centrumlinjen av den härva, som momentant för
maximi-ström i sådan riktning, att en rotor-nordpol magnetiseras.
E (för en viss lindning) = den vektor, vars modul är
effektivvärdet av den av huvudflödet inducerade EMK ocli
vars argument är vinkeln för centrumlinjen av den härva,
som momentant erhåller maximal emk i sådan riktning
som definierades för strömmen.
Härvid räknas såväl E som I såsom hänförda till en
yttre anslutningsledning och relativt en verklig eller tänkt
nollpunkt. Vid stjärnkoppling (godtyckligt fastal 3)
äro alltså modulerna av E och I lika med de verkliga
effektivvärdena i lindningen, medan vid likströmslindning med
m-fasig anslutning dessa moduler äro resp––-^
och
2 sin
2 sin gånger så stora som de inom lindningen mellan
m
tvenne anslutningar rådande värdena.
Vi definiera vidare tvenne skalära konstanter
(individuella för de resp. lidningarna), nämligen:
IEI
spänningsfaktorn f = gällande vid ett visst
periodtal v.
strömfaktorn g, definierad enligt relationen
där summationen utsträckts över de olika lindningarna
inom maskinen.
Med användande av de inom elektromaskintekniken
gängse beteckningarna (se exempelvis Alm: Elektromaskinlära
I; D. T. V. 1926) erhållas för faktorerna / och g de respek
tive uttrycken:
/ - _ ____Q . K
f =
v 2 L x}
,pv. 10 "
. TT p
CSm2§
V/ 2 L t ns p v ■ 10 "
sin
2m
vid stjärnkoppling
2 c sin
JTp
2 Q
vid likströmslindning
71 p
2 Q
vid stjärnkoppling
v’ 2 ns ,
2 c sin
2 m
9
Ttp
2 "Q .
— VI
id likströmslindning
V 2 ns m
Slutligen måste vi även införa en komplex faktor, vilken
vi benämna magnetiseringsfaktorn och definiera som:
B
A
G :
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
