Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - H. 48. 28 december 1954 - Fotogrammetrins fundamentala projektionssamband, av Bertil Hallert
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
16 november 1954
1135
Fotogrammetrins
fundamentala
pr oj ektionssamband
Professor Bertil Hallert, Stockholm
526.918
Om punkter i ett plan projicieras i ett annat plan med
räta linjer genom en och samma punkt i rymden föreligger
en centralprojektion, det geometriska begrepp på vilket all
fotogrammetri bygger.
Det numeriska sambandet mellan punkters koordinater
i de båda planen är synnerligen enkelt om planen och
koordinatsystemen förutsätts parallella och
projektions-centrums läge är bekant i förhållande till planen, fig. 5.
Om koordinatsystemen är godtyckligt orienterade i
förhållande till varandra blir sambandet komplicerat.
Vid behandlingen av flygfotogrammetrins viktigaste
fotograferingsförfarande. lodbildsfotografering från nära
konstant höjd (normalfallet), är det som regel tillräckligt att
man vid bearbetningen förutsätter nära parallellitet mellan
mark-, bild- och projektionsplan samt mellan
koordinatsystemen i bild- och projektionsplan vid bearbetningen.
Detta är ett specialfall av det allmänna fallet då
koordinatsystemen är godtyckligt orienterade.
I litteraturen finner man endast ett fåtal fullständiga
härledningar av det allmänna fallets koordinatsamband och
dessa härledningar är tämligen komplicerade och svåra
att variera eftersom de vanligen hänförts till en viss
instrumenttyp med dess speciella anordning av
rotationsaxlarna för bilden. En mera generell och lättare varierbar
form för härledningen av det allmänna
koordinatsamban-det vore därför av värde, särskilt med hänsyn till
undervisningen i fotogrammetri. Även i samband med
härledning av differentialformler för orienteringsförfaranden och
felteoretiska undersökningar rörande olika instrumenttyper
ined olika axelanordningar är det nödvändigt att ha
tillgång till de fundamentala projektionssambanden,
tillämpade på instrumentets speciella axelanordning.
I samband med undersökningar av felteorin för vissa nya
amerikanska fotogrammetriska dubbelbildsinstrument för
bearbetning av konvergenta flygbilder har jag härlett ett
förfarande för bestämning av det allmänna
koordinatsam-bandet vid centralprojektion av två godtyckligt orienterade
plan i varandra. Förfarandet har visat sig vara lämpligt
som en generell metod för behandling av alla
förekom-mnde projektionsproblem inom fotogrammetri.
Rotation av axelsystem i rymden
Problemet att finna det allmänna koordinatsambandet
mellan två godtyckligt orienterade plan vid
centralprojektion synes enklast kunna behandlas med hjälp av de från
matematiken kända förfarandena för
koordinattransfor-mation i samband med rotation av axelsystem i rymden.
Genom införande av matriskalkylens elementäraste
operationer och i övrigt med tillämpning av elementära
matematiska samband kan en klar och överskådlig härledning
av koordinatsambandet göras.
Vi antar två rätvinkliga koordinatsystem xyz och xryrzr
som sammanfaller i ett utgångsläge, fig. 1. En punkt P
är given med sina koordinater i de båda systemen.
Om koordinatsystemet xryrzr inklusive P roteras
vinklarna oc, ß och 7 omkring axlarna yT, xr och zr och i nämnd
ordning innebär problemet närmast att finna
koordinaterna för P i .ryz-systemet efter rotationerna.
Den antagna ordningen mellan rotationerna innebär att
axeln yr är primäraxel, xr är sekundäraxel och zr är
ter-tiäraxel. Detta motsvarar axelanordningen i t.ex.
Stereo-planigrafen och Multiplex. Om härledningen gällde t.ex.
någon av Wild-autograferna A5, A6 eller A7 skulle xr vara
primär-, yr sekundär- och zr tertiäraxel. I den amerikanska
Twinplex är zT primär-, xr sekundär- och yr tertiäraxel.
Begreppen primär-, sekundär- och tertiäraxlar innebär
självfallet att den första axeln är bärare av de båda senare,
av vilka den förra är bärare av den senare
Vi betraktar xz-planet i den positiva y-axelns riktning
efter den positiva rotationen oc, fig. 2.
x- och z-koordinaterna för punkten P erhålles genom en
elementär plan koordinattransformation:
x — xroc eos oc — zrx sin oc
z = xr<x sin oc + zroc eos oc
(1)
y-koordinaten för P är oförändrad efter denna rotation
och vi kan skriva
y = xroc • 0 + yr • 1 + Zroc • 0
Kombinationen av ekv. (1) och (2) ger
x = xroc eos oc + yr • 0 — zroc ■ sin oc
y — Xyoc ■ 0 + yr • 1 + zToc ■ 0
z — xroc sin oc + yr ■ 0 + zrx eos oc
Detta uttryck kan skrivas i matrisform
(eos oc () — sin oc
0 1 0
sin oc 0 eos oc
(2)
(3)
\ Xroc\ Xroc
yl yr 1 = Moe yr
/ \zrx/ \zroc
(4)
Matrisen Mx är ett uttryck som fullständigt karakteriserar
rotationen. Matrisen är en ortogonal matris, vars
egenskaper är välkända från matematiken. Benämningen
ortogonal kommer från matrisens egenskap att
produktsummorna av två godtyckliga rader eller två godtyckliga
kolumner är noll. Om raderna eller kolumnerna betraktas
som vektorer är två godtyckliga radvektorer eller två
godtyckliga kolumnvektorer vinkelräta (ortogonala) mot
varandra eftersom produktsummorna av vektorernas
projektioner är noll.
Matrisens determinant är vidare alltid 1. För en
ortogonal matris gäller, att dess transponerade och reciproka
former är lika. Vi kan följaktligen genom att byta raderna
Fig. 1. De båda axelsystemen i utgångsläge. Systemet xryrZr
roteras först vinkeln oc omkring yr, varvid de båda andra
axlarna överföres i xrx och zrx. Därefter roteras systemet
vinkeln ß omkring xTx, varvid de båda andra axlarna
överföres i yTß och zrocß. Slutligen sker rotationen y omkring
axeln zrxß varvid de båda andra axlarna överföres i xr<xy
och yrßY.
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
