Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - H. 48. 28 december 1954 - Fotogrammetrins fundamentala projektionssamband, av Bertil Hallert
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
1136
TEKNISK TIDSKRIFT
Fig. 2. Rotationen oc sedd i den positiva
yr-eller y-axelns riktning. Den positiva xr-axeln
roteras mot den positiva z-axeln.
Fig. 3. Rotationen ß sedd i den
positiva xTtx-axelns riktning.
Fig. 4. Rotationen y sedd i den
positiva zr<xß-axelns riktning.
till kolumner direkt uttrycka xr, y och zr i funktioner av
x, y och z. Vi erhåller
eos oc 0 sin oc
0 1 0
,— sin oc. 0 eos oc
Om multiplikationen utföres erhålles
xr = x eos oc + z sin oc
II r = y
zr = — x sin oc + z eos oc
(5)
(6)
Uttrycket kan lätt direkt verifieras, fig. 2.
Nästa rotation företas omkring axeln xrx den positiva
vinkeln ß varvid den nyss roterade axeln zr0c överföres i
zrocß och yr-axeln överföres i yrß, fig. 3.
På samma sätt som tidigare erhålles
xr<x = xroc ■ 1 + yrß ■ 0 + zra.ß ■ 0
yr — xrot • 0 + yrß ■ eos ß + zr;x.ß sin ß
zroc = xrcc ■ 0 — yrß ■ sin ß + zraß eos ß
eller i matrisform
Xyot \ /i o o \ / X]-oc \ / Xj-IX
yr 1=0 eos ß sin ß • yrß | = Mß • I yrß
\zr<xj V0 —sin ß eos ß / \zrcxßj \zr<xf
(7)
(8)
Eftersom matrisen Mß också är en ortogonal matris får vi
omedelbart
(9)
Den tredje rotationen företas omkring axeln zra.ß den
positiva vinkeln y, fig. 4.
Vi finner som tidigare
xroi — xriXy eos y + yrßy sin y + zTXß ■ 0
yrß — — Xf-txy sin 7 + ijrßy eos 7 + Zj-txß ■ 0
Zrccß — Xray ■ 0 + yrßy ■ 0 + Zr<xß ■ 1
eller i matrisform
eos 7 sin y 0\ /xra.y\
•sin y eos7 O M yrßY =My
0 0 1/ \Zf(xß /
/xrocy \ /eos 7 — sin 7 0
yrßy ) ■= sin y eos y 0
\zrocßl \ 0 0 1
(10)
(11)
(12)
För att uttrycka koordinaterna Xrocy, yrßy och zr<x.ß lör
punkten P i det ursprungliga systemet [x, y, z) är det
tillräckligt att för matrisen /xr0c \ i ekv. (12) substituera
uttrycket (9)
och att för matrisen /xr<x\ i ekv. (9) substituera uttrycket
(5)
Då erhålles
I Xrocy \ tx \ /x \
[yrßy \=M*rM*ß-M*cc-iy\— M* (y| (13)
Detta uttryck innehåller transformationen av
koordinaterna x, y, z för en godtycklig punkt till koordinaterna
xrocy, yrßy, Zrocß efter rotationerna oc, ß och y respektive i
nämnd ordning och enligt fig. 1.
Från ekv. (4) och efter substitution av ekv. (8) samt
ekv. (11) erhålles
y — Mx ■ Mß-My
(14)
Produkten av ortogonala matriser ger emellertid nya
orto-gonala matriser och följaktligen kan ekv. (13) erhållas
ur ekv. (14) eller tvärtom genom transponering av
matrisprodukterna M respektive M*. Det är alltså tillräckligt att
beräkna den ena matrisprodukten eftersom den andra kan
erhållas genom transponering.
Från ekv. (14) och efter insättning av uttrycken för
resp. matriser från ekv. (4), (8) och (11) erhålles
(eos oc 0 — sin oc
0 1 0
sin oc 0 eos oc,
(eos y sin y 0
— sin 7 eos 7 0
0 0 1
(Xrocy \
yrßy I
Zrocß]
(15)
Multiplikation av matriserna ger, steg för steg
!x \ /eos oc sin oc sin ß —- sin oc eos
–– 0 eos ß
\sin oc — eos oc sin
(eos 7 sin y 0
— sin 7 eos 7 0
0 0 1
sin p
eos oc eos .
och slutligen
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>