Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - H. 48. 28 december 1954 - Fotogrammetrins fundamentala projektionssamband, av Bertil Hallert
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
16 november 1954
1137
Uttrycken (17 a)—(17 c) och (19 a)—(19 c) är de
fullständiga sambanden mellan en punkts koordinater i de båda
koordinatsystemen xyz och xrocy yrßy zrocß av vilka det
senare roterats vinklarna oc, ß och y i nämnd ordning
omkring axlarna yr, xr och zr, fig. 1. Om en annan
rotationsordning hade använts skulle ordningsföljden mellan
del-matriserna i ekv. (13) och (14) ha ändrats och följaktligen
andra uttryck (17) och (19) erhållits. Genom att tillämpa
motsvarande förfarande för en annan rotationsordning
kan respektive koordinatsamband lätt härledas.
En god kontroll på härledningar av denna typ kan
erhållas ur rotationsmatrisernas egenskaper av ortogonala
matriser. Produktsumman av två godtyckliga rader eller
två godtyckliga kolumner skall vara noll och vidare skall
matrisernas determinant vara 1.
Tillämpning inom fotogrammetri
Ur det enkla koordinatsambandet mellan en sträng
lodbild och ett horisontellt projektionsplan (fig. 5) finner vi
_ h
(20)
(21)
Fig. 5. Koordinatsambandet mellan två parallella plan vid
central pr o jektion.
Om bilden roteras vinklarna q>, co och * omkring axlarna
y, xr och zr (jfr fig. 1) i nämnd ordning, transformeras
lodbildens koordinater x = [x’), y = [g’) och z — — (c) på
alldeles samma sätt som koordinaterna x, y och z i ekv.
(19 a)—(19 c) transformeras till Xrocy, yrßy och Zraß.
Dessa senare koordinater motsvaras emellertid av
bild-koordinaterna i den roterade bilden, som vanligen
betecknas x’, y’ och — c.
Dessa koordinater kan transformeras till systemet xyz i
fig. 5 med uttryck, motsvarande ekv. (17 a)—(17 c).
:-
sm 7
eos oc eos y — sin oc sin
eos ß sin y
\z / \ sin oc eos y + eos oc sin ß sin y
Efter utförd multiplikation erhålles ur ekv. (16)
x — Xfocy (eos oc eos y — sin oc sin ß sin y) +
+ Vrßy (eos oc sin y + sin oc sin ß eos 7) —
— zrocß sina eos ß (17 a)
y — —Xrocy eos ß sin 7 + yrßy eos j|? eos y + zrxß sin ß (17 b)
eos oc sin y + sin oc sin ß eos 7 — sin oc eos
eos ß eos 7 sin ß
sin oc sin 7 — eos oc sin ß eos y eos oc eos
(16)
Om alltså i ekv. (17 a)—(17 c) oc, ß och y utbytes mot «p,
co och x samt xrccy, yrßy och zrocß mot x’, y’ och —c
erhålles de mot [x’), [y’) och — (c) i ekv. (20) och (21)
svarande koordinaterna. Insättes dessa i ekv. (20) och (21)
erhålles de fullständiga koordinatsambanden mellan
punkter i den roterade bilden och projektionsplanet.
Vi finner alltså från ekv. (17), (20) samt (21)
_ h |x’ (eos <p eos * — sin <p sin co sin x) + y’ (eos <p sin x + sin q> sin co eos *) + c sin <p eos co }
— x’ (sin >9? eos x + eos <p sin co sin k) + y’ (eos <p sin co eos x — sin fp sin a) + c eos <p eos <0
h {— x’ eos co sin k + y’ eos <0 eos x — c sin co }
■ x’ (sin i<p eos x + eos *p sin <0 sin *) + y’ [eos fp sin co eos x — sin <p sin «) + c eos >cp eos co
(22)
(23)
z — xrXy (sin oc eos 7 + eos oc sin ß sin 7) +
+ yrßy (sin oc sin 7 — eos oc sin ß eos y) +
+ zrocß eos oc eos ß
För att uttrycka xrXy, yrßy och zra.ß i x, y och z
ponerar man ekv. (16) och erhåller
(17 c)
trans-
Dessa uttryck gäller för projektionen i instrument där
axelanordningen är *p, (o och x, dvs. för t.ex.
Stereoplani-grafen och Multiplex. Hänsyn måste självfallet också tas
till graderingsriktningen hos skalorna för vinklar och
koordinater om numeriska operationer skall genomföras.
!Xrocy 1
yrßy
\zrccß)
eos oc eos 7 — sin oc sin ,ß sin 7
eos oc sin y + sin oc sin ß eos 7
sin oc eos ß
eos ß sin 7 sin oc eos y + eos oc sin ß sin 7
eos ß eos 7 sin oc sin 7 — eos oc sin ß eos 7
sin ß eos oc eos ß
(18)
Efter utförd multiplikation erhålles ur ekv. (18)
xrocy = x (eos oc eos 7 — sin oc sin ß sin 7) —
— y eos ß sin 7 + z (sin oc eos y +
+ eos oc sin ß sin 7)
yrßy — x (eos oc sin y + sin oc sin ß eos 7) +
+ y eos ß eos 7 + z (sin oc sin y —
— eos oc sin ß eos 7)
[19 a)
(19 b)
zrocß = — x sin oc eos ß + y sin ß + z eos oc eos ß (19 c)
Jämförelse mellan instrumentet och riktningarna i fig. 5
ger de erforderliga uppgifterna.
Ur ekv. (22) och (23) kan differentialformler under olika
förutsättningar härledas, enklast genom serieutveckling.
Formlerna (22) och (23) överensstämmer helt med von
Grubers härledning i "Ferienkurs in Photogrammetrie"
(Stuttgart 1930) av motsvarande samband (ekv. 13 a och
13 b). Med hänsyn till von Grubers definitioner av
riktningar hos axlar och rotationer fordras emellertid smärre
omformningar, vilka lätt kan genomföras efter jämförelse
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
