Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - 1960, H. 26 - Optimal linjesträckning av trafikleder, av Olof Gunnarsson
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
ken och anger där jämviktsvillkoret för en
stel kropp, påverkad av yttre krafter. För
speciellt fallet med tre orter motsvaras detta av
en kropp 01S 02, Os, påverkad av krafterna c„
c2 och c3 (fig. 3). Vid jämvikt är
kraftpolygo-nen sluten, och krafternas riktningslinjer
sammanträffar i en punkt, den sökta
optimipunk-ten P. Dess läge och därmed den teoretiska
linjesträckningen kan därför bestämmas med
hjälp av en enkel mekanisk analogi: tre linor,
förbundna med varandra i en punkt, belastas
med vikter proportionella mot c„ c2 och c3, i
punkter motsvarande 0„ 02 och 03.
Två specialfall
Av det härledda villkoret för linjesträckning
mellan tre orter inses, att punkten P aldrig kan
vara belägen utanför triangeln 01 02 03 eller på
någon av dess sidor. I det fallet, då
vektorsumman omöjligen kan bli noll, måste funktionens
undre gräns erhållas i någon punkt, där
deri-vatorna ej existerar, dvs. i antingen 01( 02 eller
Os. Ett sådant fall fås t.ex. om
c2 ^ I C1 C21 "t" c3 c23 I
dvs. om c2 är större än absoluta beloppet av
den vektor, som erhålles då c1 och c3, riktade
efter 02 Ox resp. 02 03, summeras vektoriellt.
Detta fall inträffar, då trafiken mellan 01 och
03 är obetydlig. Punkten P sammanfaller då
med 02 (fig. 4 t.v.). Linjesträckningen blir då
av pärlbandstyp.
Om mycket stora och någorlunda jämnt
fördelade trafikmängder föreligger mellan 0„ 0„
och 03, bör kostnaden undersökas för ett
system med direkta förbindelser mellan orterna
(fig. 4 t.h.). I det fallet, då kostnaden K0 för
ett dylikt system är lägre än kostnaden K för
ett system med ett gemensamt vägmöte, gäller
ej det härledda minimivillkoret.
Linjesträckningen blir närmast av fågelvägstyp.
Geometrisk konstruktion
Optimipunkten P kan enklast bestämmas
geometriskt genom att man utnyttjar det
vinkelsamband mellan kostnadsvektorernas
riktningar, som erhålles från en "kraftplan". Sedan
man har ritat upp kraftplanen med
kostnadsvektorerna c, så att kraftpolygonen sluter sig
(fig. 5 t.v.), erhålles vinkelsambandet mellan
de tre vektorernas riktningar (fig. 5 i mitten).
Från två orter, t.ex. 01 och 0„, konstrueras en
punkt P’ genom att vinkeln Oj mellan
vektorerna c1 och c2 direkt överföres (fig. 5 t.h.).
Genom punkterna 0„ 02 och P’ konstrueras
därefter en cirkel. Vektorn c3:s riktningslinje
genom P’ skär cirkelbågen i en polpunkt Q.
Enligt en välkänd sats från den elementära
geometrin (periferivinklar på samma båge är
lika stora), erhålles det givna
vinkelsammanhanget i varje punkt P’ på bågen genom att
linjer drages från P’ till 01( 02 och Q. Den sökta
optimipunkten P fås som skärningspunkten
mellan linjen QOa och cirkelbågen. Från P
drages därefter linjer POi och P02, varvid den
sökta linjesträckningen erhålles (fig. 5 t.h.).
Fig. 4. Specialfall av linjesträckning mellan orterna
0„ O, och O,; t.v. obetydlig trafik mellan Ot och
Oj, t.h. betydande och någorlunda jämnt fördelad
trafik mellan alla tre orterna.
För bestämning av det teoretiska
linjesystemet mellan t.ex. fem orter uppritas först en
systemskiss (fig. 6 upptill t.v.), varefter
kraftplanen konstrueras genom att
kostnadsvektorerna uppritas medurs dels för varje
korsningspunkt, dels för hela systemet (fig. 6 upptill
t.h.). Därefter konstrueras polpunkten Qlt t.ex.
med utgångspunkt från orter 01 och 02, sedan
Q2 från Q1 och O0. På samma sätt förfares från
det "motsatta" hållet. De sist erhållna
polpunkterna Q2 och Qs sammanbindes, så att
punkter P fixeras, varefter det sökta
linjesystemet erhålles (fig. 6 nedtill). Ingående
sträckor och knutpunkter i detta system bör då i
princip överensstämma med systemskissens.
Hittills har uteslutande behandlats det fallet,
då tre linjer sammanstrålar i en punkt.
Fyr-vägskors kan dock geometriskt konstrueras på
basis av två trelinjiga skärningspunkter. Linjer
PO från resp. orter förlänges, så att dessa skär
varandra i punkterna S1 och S2 (fig. 7). Dessa
förenas sedan med en linje S1 S2, varefter
skärningspunkten mellan denna och linjen PtP2 ger
en ny punkt P. Denna senare sammanbindes
därefter med 01( 02, 03 och 04, och ett nytt
linjesystem erhålles.
Tillämpning
Vid tillämpning av den teoretiska
linjesträckningsmetoden bör de två specialfallen
uppmärksammas. I de fall då de topografiska eller
trafikmässiga förhållandena ej medger fritt val
\>03
Fig. 5. Geometrisk konstruktion av det optimala
läget för mötet P mellan vägarna från orterna 0„ Ot
och O,; t.v. kraftplan, i mitten vinkelsamband, t.h.
konstruktion.
fi^O TEKNISK TIDSKRIFT 1960 H. 25
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
