Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - II. Rummet - Spekulativ rumsuppfattning - Den geometriska vetenskapen
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
94
RUMMET.
Problemet om kubens fördubbling finns redan omnämnt i en av den store grekiske
diktaren Euripides’ (480—406 f. Kr.) tragedier, där Kretas sagokung Nimos finner, att
man gjort sonens grav för liten och utropar:
För liten Du mig gjorde den unge furstens grav,
fördubbla den, men kubens form skall dock bestå.
Problemet är således av synnerligen hög ålder och sysselsatte matematici under
långa tider, framför allt Platon och hans elever, tills Eudoxus och två av hans lärare
Archytas och dennes lärjunge Menaichmos funno lösningen med hjälp av var sina kurvor.
Platon lär dock ha förkastat lösningarna, ty kurvorna erhöllos med särskilda mekaniska
hjälpmedel, och genom ett dylikt sinnligt förfarande skulle man, enligt Platons mening,
upphäva och fördärva den undantagsställning geometrien ägde, en undantagsställning,
som visade sig däri, att den sysslar med eviga och okroppsliga tankebilder i likhet med
Gud, som just därigenom är Gud. Platon betänkte härvid icke, att även cirkeln är en
kurva, som erhålles genom ett mekaniskt hjälpmedel, passaren, och att andra kurvor
lika väl som cirkeln kunna vara okroppsliga tankebilder, vilkas egenskaper tanken kan
fasthålla, utan att man använder instrumenten till att upprita dem. Platons ensidiga
betraktelsesätt kom emellertid att omfattas av andra och har ända in i den nyare tiden
haft förespråkare, så att kubens fördubbling liksom vinkelns tredelning och cirkelns
kvadratur fått namn om sig att vara olösliga.
Fig. 67. Kägelsnitten.
Kägelsnitten. Vilken kurva Eudoxus använde vid kubens fördubbling har
eftervärlden lämnats i okunnighet om, men däremot vet man, att Menaichmos använde
ett slags kurvor, som man behöver vid konstruktion av solur,
och vilka sedermera kommit att spela en fundamental roll
inom naturforskningen. Dessa av Menaichmos studerade
kurvor ha sedermera benämnts kägelsnitt eller koniska sektioner,
ty de utgöra de på tre olika sätt formade kurvor, som med ett
plant snitt kunna skäras ut på en vanlig kon. Menaichmos
gjorde alltid snittet vinkelrätt mot en av könens sidolinjer
men varierade könens toppvinkel. Den store matematikern
Apollonios visade, att man lika väl kan erhålla dem ur en
enda kon genom olika sneda snitt.
Det ena slaget kägelsnitt utgöres av en sluten oval, som
sedermera fått namnet ellips, och det erhålles, om snittet
fullständigt skär av toppen på konen (fig. 67). Det andra slaget
utgöres av en enda öppen båglinje, som fått namnet parabel,
och erhålles, om snittet går parallellt med någon av de räta
linjer, som kunna dragas på könens yta genom spetsen. För
att erhålla det tredje slaget kurva, vilken benämnes hyperbel,
får man tänka sig den koniska ytan fortsatt på andra sidan om spetsen, och denna
dubbelkon får man därefter skära över med ett plan, som råkar bägge de enkla
konerna, av vilka dock blott den ena synes å fig. 67. Hyperbeln består därför av två
stycken eller två grenar, som man också säger.
Kägelsnitten voro efter Menaichmos ständigt föremål för de grekiska matematikernas
intresse icke blott därför, att man med dem kunde lösa både problemet öm kubens
fördubbling och vinkelns tredelning, utan också därför att dessa kurvor i och för sig visade
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
