Full resolution (JPEG) - On this page / på denna sida - II. Rummet - Rumsuppfattningen grundad på mätningar - Äldsta uppmätningar av världsrummet
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
Below is the raw OCR text
from the above scanned image.
Do you see an error? Proofread the page now!
Här nedan syns maskintolkade texten från faksimilbilden ovan.
Ser du något fel? Korrekturläs sidan nu!
This page has never been proofread. / Denna sida har aldrig korrekturlästs.
METRISK RUMSUPPFATTNING. ÄLDSTA UPPMÄTNINGAR AV VÄRLDSRUMMET. 107
och hans talbeteckningar likna genom sin gruppering i hög grad våra nuvarande (jfr
sid. 137) decimalsystem med dess enheter, tiotal, hundratal o. s. v.
Vid uppskattningen av världsrummets storlek antager Arkimedes, att världsrummet
är en sfär med en diameter 10000 gånger så stor som jordens diameter. Han kommer
därvid till det resultat, att om hela världsrummet fylldes med sandkorn, skulle deras
antal utgöra 1 000 enheter av sjunde oktaden.
Arkimedes försökte själv lämna bidrag till uppskattningen av himlakropparnas
storlek genom att mäta solens skenbara diameter. Detta gjorde han på så sätt, att han
höll en cylindrisk stång på ett sådant avstånd från ögat, att den just täckte solen; med
kännedom om den cylindriska stångens diameter och avstånd från ögat kunde han sedan
värdera den vinkel, under vilken stången och således även solen synts för ögat.
Arkimedes, som i en kvarts cirkel avsatte sina uppmätta värden, kom till det resultat, att
solen motsvaras av en vinkel, som är större än J-j0 = 27’ och mindre än T9g°4o = 32’56".
Resultatet är märkligt såtillvida, att det visar, att Arkimedes ej kände något instrument,
som kunde medgiva en dylik vinkelmätning med mindre fel än 6’ eller en tiondels grad.
Arkimedes’ utläggning av denna fråga visar också, att han bestämde vinklar genom
att på den mot en vinkel svarande cirkelbågen draga kor dan, d. v. s.
sammanbindnings-linjen mellan bågens ändpunkter. Metoden är en förelöpare till jakobsstaven (se sid. 52)
och har dessutom den betydelsen, att den riktade astronomernas uppmärksamhet mot
sambandet mellan vinkelns båge och korda. De första trigonometriska tabellerna voro
just uttryck för detta samband, och det är högst sannolikt, att Arkimedes’ metod givit
uppslaget till dylika tabellers beräkning. Arkimedes sysslade nämligen mycket med
beräkning av olika regelbundna månghörningars sida. Utgående från sexhörningen, vars
sida är lika med cirkelns radie, fick han, genom vinkelhalvering och beräkningar medelst
kvadratrotsutdragning i anslutning till Pythagoras’ sats, en värdering av sidan hos
12-hörningen, därefter genom ytterligare samma procedur sidan hos 24-hörningen o. s. v.,
ända till 96-hörningens sida. Uti sin berömda avhandling om cirkelns kvadratur kallad
Cirkelmätning, genomför han dessa räkningar och får att 96-hörningens omkrets förhåller
sig till den inskrivna cirkelns radie som 29 376 till 4 673J, och därav sluter han till
värdet rt på förhållandet mellan cirkelns omkrets och diameter, vilket han finner mindre
än 3|. Genom att på liknande sätt göra en jämförelse med den omskrivna cirkelns
radie får han att rc är större än 3 Använda vi tecknen > och < för att ange »större
än» och »mindre än», kom Arkimedes således till det resultatet, att tc >3och rt < 31,
eller i decimalbråk 3.1429 > tt > 3.1409 (jfr sid. 72).
Av epokgörande betydelse var också den uppskattning av parabelns yta, som
Arkimedes genomförde, ty här möter man för första gången ett praktiskt utnyttjande av en
s. k. oändlig process. För att värdera arealen hos ett parabelsegment, d. v. s. det stycke
man kan skära av en parabel medelst en rät linje, gjorde Arkimedes så, att han ersatte
parabelsegmentet med en följd inskrivna trianglar (se fig. 73), vilkas areal han värderade.
Han visade nämligen, att om trianglarna väljas på så sätt, att spetsen går genom en sådan
punkt på parabeln, där dennas tangent är parallell med basen (se fig. 74), så kommer varje
nytt par trianglar, som kunde tillfogas dem, vilka erhållits vid närmast föregående
uppdelning, att äga en areal lika med | av närmast föregående triangel. Sätter man
därför den första stora triangelns yta lika med 1, blir totala ytan hos de 2 därpå
följande totala ytan hos de 4 därpå följande 4^ = |2j totala ytan hos de 8 därpå
följande 4 4 4 = |3 o. s. v. Lägger man ihop denna följd av triangelytor, erhålles 1 + | + .
+ 52 + + • • •, och Arkimedes visade, att denna summa närmar sig mer och mer
<< prev. page << föreg. sida << >> nästa sida >> next page >>
